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Set Theory (EPFL)

General information


Professor: Jacques DUPARC (Jacques.Duparc[at]epfl.ch).

Assistant : Gianluca BASSO (Gianluca.Basso[at]epfl.ch)
                

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Lecture : TBA
Exercices: TBA

Objectif

Ce cours visite la théorie des ensembles comme fondation des mathématiques. Il se veut une introduction aux preuves d’indépendance ainsi qu’aux résultats de consistance relative. Avec comme but ultime la démonstration de l’indécidabilité du 1er   problème de Hilbert : existe-t-il un ensemble infini de réel qui ne soit en bijection ni avec les entiers, ni avec les réels (l’hypothèse du continu) ?

Contenu

Théorie des ensembles: ZFC. Extensionalité et Compréhension. Relations, fonctions et bon-ordre. Ordinaux. Classe et récurrence transfinie. Cardinaux. Relations bien-fondées, Axiome de Fondation, constructions inductives et hiérachie de von Neumann. Relativisation, absoluité et théorèmes de réflection. L’univers L des constructibles de Gödel. Axiome du Choix et Hypothèse du Continu dans L. Ensembles héréditairement définissables en termes d’ordinaux et Axiome du Choix: indépendance de l’axiome du choix.
Po-sets, filtres et extensions génériques. Forcing. ZFC dans les extensions génériques. Forcing de Cohen. Indépendance de l’Hypothèse du Continu.






Goal

This course visits Set Theory as a foundation of mathematics. It introduces to independence proofs, and relative consistency results, to show in the end that Hilbert’s first problem is undecidable : does there exist an infinite set of reals that is neither in bijection with the set of integers, nor the set of reals (continuum hypothesis)?




Contents

Set Theory: ZFC. Extensionality and Comprehension. Relations, functions, and well-ordering. Ordinals. Class and transfinite recursion. Cardinals. Well-founded relations, Axiom of foundation, induction, and von Neumann’s hierarchy. Relativization, absoluteness, reflection theorems. Gödel’s constructible universe L. Axiom of Choice, and Continuum Hypothesis inside L. HOD and the Axiom of Choice: independence of the Axiom of Choice. Po-sets, filters and generic extensions. Forcing. ZFC in generic extensions. Cohen Forcing. Independence of the Continuum Hypothesis.



Exam


3h long written exam,  one sheet of summary allowed (A4).

Exercices (pdf)


















 












Bibliography

  • General introduction to mathematical logic:
  • René Cori, Daniel Lascar: Introduction à la logique mathématique, vol. 1 et 2, Dunod, 2003
  • Karim Nour, René David, Christophe Raffalli, et Pierre-Louis Curien: Introduction à la logique : Théorie de la démonstration, Dunod, 2004
  • H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, and W. Thomas: Mathematical Logic, Springer, 1996
  • Wolfgang Rautenberg: A concise introduction to mathematical logic, Springer, 2006
  • Yu. I. Manin: A course in mathematical logic, Springer, 1977
  • Joseph R. Shoenfield: Mathematical Logic, AK Peters, 2001
  • Elliott Mendelson: Introduction to mathematical logic (4th edition), Chapman & Hall/CRC 1997
  • George Boolos, John Burgess, Richard Jeffrey: Computability and Logic (5th edition), Cambridge 2007
  • Herbert B. Enderton : A methamtical introduction to logic (2nd edittion), 2000
  • Jon Barwise: Handbook of mathematical logic, North-Holland, 1982
  • Set Theory :
  • Thomas Jech: Set theory, Springer 2006
  • Kenneth Kunen: Set theory, Springer, 1983
  • Jean-Louis Krivine: Theorie des ensembles, 2007
  • Patrick Dehornoy: Logique et théorie des ensembles; Notes de cours, FIMFA ENS: http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/surveys.html
  • Yiannis Moschovakis: Notes on set theory, Springer 2006
  • Karel Hrbacek and Thomas Jech: Introduction to Set theory, (3d edition), 1999


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